Ошибок теория

Ошибок теория, раздел математической статистики , посвященный построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, так как каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают 3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики (см. ). Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов. О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. ) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок. Пусть в результате n независимых равноточных измерений некоторой неизвестной величины а получены значения , x ,..., x . d - a,?, d - a называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все d трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d ,..., d . Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b =.. .= называется систематической ошибкой, а разности d - b,..., d - b - случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b = 0 , и в этой ситуации d ,..., d суть случайные ошибки. Величину , где а - , называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением? . Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а , а разности D - ,..., D ?? называются кажущимися ошибками. Выбор ? в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка ?с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон ); оценка ?лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть D = E( - а ) = s /n. Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки d подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина ?имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а /n. Если распределения d в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а, например медианы , не меньше D . Если же распределение d отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места. Если дисперсия s отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной (E , т. е. - несмещенная оценка для s ), если случайные ошибки d имеют нормальное распределение, то отношение подчиняется Стьюдента распределению с n - 1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства ?(см. ). Величина ( n - 1 ) / s (см. "Хи-квадрат" распределение ) с n - 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства s " s. Можно показать, что относительная погрешность | s - s | Is не будет превышать числа q w = F ( , n - 1 ) - F ( , n - 1 ) , где F ( z, n - 1 , , . Лит.: Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. Л. Н. Большев.

Hosted by uCoz